Введение в анализ, синтез и моделирование систем



              

Основы моделирования систем - часть 10



Окно справа - состояние клеточного поля (в верхнем - исходное, слабо загрязненное, в нижнем - после 120 циклов загрязнения), в левом верхнем углу - "Микроскоп", увеличивающий кластер поля, в середине слева - график динамики загрязнения, внизу слева - индикаторы загрязнения

Рис. 10.4.  Окно справа - состояние клеточного поля (в верхнем - исходное, слабо загрязненное, в нижнем - после 120 циклов загрязнения), в левом верхнем углу - "Микроскоп", увеличивающий кластер поля, в середине слева - график динамики загрязнения, внизу слева - индикаторы загрязнения

Модель фрактальная, если она описывает эволюцию моделируемой системы эволюцией фрактальных объектов. Если физический объект однородный (сплошной), т.е. в нем нет полостей, можно считать, что плотность не зависит от размера. Например, при увеличении R до 2R масса увеличится в R2 раз (круг) и в R3 раз (шар), т.е. M(R)~Rn (связь массы и длины), n - размерность пространства. Объект, у которого масса и размер связаны этим соотношением, называется "компактным". Плотность его


Если объект (система) удовлетворяет соотношению M(R)~Rf(n), где f(n)<n, то такой объект называется фрактальным. Его плотность не будет одинаковой для всех значений R, а масштабируется так:


Так как f(n)-n<0, то плотность фрактального объекта уменьшается с увеличением размера, а ?(R) является количественной мерой разряженности, ветвистости (структурированности) объекта.

Пример. Пример фрактальной модели - множество Кантора. Рассмотрим [0;1]. Разделим его на 3 части и выбросим средний отрезок. Оставшиеся 2 промежутка опять разделим на три части и выкинем средние промежутки и т.д. Получим множество, назывемое множеством Кантора. В пределе получаем несчетное множество изолированных точек (рис. 10.5)

Множество Кантора для 3-х делений

Рис. 10.5.  Множество Кантора для 3-х делений

Можно показать, что если n - размерность множества Кантора, то n=ln2/ln3?0,63, т.е. этот объект (фрактал) еще не состоит только из изолированных точек, хотя уже и не состоит из отрезка. Фрактальные объекты самоподобны, если они выглядят одинаково в любом пространственном масштабе, масштабно инвариантны, фрагменты структуры повторяются через определенные пространственные промежутки.


Содержание  Назад  Вперед