Глава 4.1.4. Алгоритм Ромберга

После сделанных вводных замечаний приведем основные идеи итерационного алгоритма Ромберга, который применяется в системе Mathcad для выполнения операции численного интегрирования.

Сначала строится несколько интерполирующих полиномов, которые заменяют на интервале интегрирования подынтегральную функцию f (х). В качестве первой итерации полиномы вычисляются по 1, 2 и 4 интервалам. Например, как уже отмечалось выше, первый полином, построенный по 1 интервалу, — это просто прямая линия, проведенная через две граничные точки интервала интегрирования, второй — квадратичная парабола и т. д.
Интеграл от каждого полинома с известными коэффициентами легко вычисляется аналитически. Таким образом, определяется последовательность интегралов от интерполирующих полиномов: I₁,I₂,I₄,... Например, по правилу трапеций I₁=(b-a) (f (a) +f (b)) /2 и т. д.
Из-за интерполяции по разному числу точек вычисленные интегралы I₁, I₂, ... несколько отличаются друг от друга. Причем чем больше точек используется для интерполяции, тем интеграл от интерполяционного полинома ближе к искомому интегралу I, стремясь к нему в пределе бесконечного числа точек. Поэтому определенным образом осуществляется экстраполяция последовательности ii,i2,i4, ... до нулевой ширины элементарного интервала. Результат этой экстраполяции j принимается за приближение к вычисляемому интегралу.
Осуществляется переход к новой итерации с помощью еще более частого разбиения интервала интегрирования, добавления нового члена последовательности интерполирующих полиномов и вычисления нового (N-го) приближения Ромберга J^N.
Чем больше количество точек интерполяции, тем ближе очередное приближение Ромберга к вычисляемому интегралу и, соответственно, тем меньше оно отличается от приближения предыдущей итерации. Как только разница между двумя последними итерациями | J^N-J^N-11 становится меньше погрешности TOL или меньше TOL|J^N|, итерации прерываются, и J^N появляется на экране в качестве результата интегрирования.

Содержание раздела