Математические задачи в пакете MathCAD 12



4.5.3. Вейвлет-преобразование



В последнее время возрос интерес к другим интегральным преобразованиям, в частности, к вейвлет-преобразованию (или дискретному волновому преобразованию). Оно применяется, главным образом, для анализа нестационарных сигналов и для многих задач подобного рода оказывается более эффективным, чем преобразование Фурье. Основным отличием вейвлет-преобразования является разложение данных не по синусоидам (как для преобразования Фурье), а по другим функциям, называемым вейвлетобразующими. Вейвлетобразующие функции, в противоположность бесконечно осциллирующим синусоидам, локализованы в некоторой ограниченной области своего аргумента, а вдали от нее равны нулю или ничтожно малы. Пример такой функции, называемой "мексиканской шляпой", показан на рис. 4.15.

По своему математическому смыслу вейвлет-спектр имеет не один аргумент, а два. Помимо частоты, вторым аргументом ь является место локализации вейвлетобразующей функции. Поэтому ь имеет ту же размерность, что и х.



Рис. 4.15. Сравнение синусоиды и вейвлетобразующей функции


Встроенная функция вейвлет-преобразования

Mathcad имеет одну встроенную функцию для расчета вейвлет-преобразования на основе вейвлетобразующей функции Добеши:

  •  wave (у) — вектор прямого вейвлет-преобразования Добеши;
  •  iwave (v) — вектор обратного вейвлет-преобразования Добеши:

  • у — вектор данных, взятых через равные промежутки значений аргумента;
  • v — вектор данных вейвлет-спектра.


Аргумент функции вейвлет-преобразования, т. е. вектор у, должен так же, как и в преобразовании Фурье, иметь ровно 2П элементов (n — целое число). Результатом функции wave является вектор, скомпонованный из нескольких коэффициентов с двухпараметрического вейвлет-спектра. Особенности использования функции wave иллюстрируются листингом 4.18, где в качестве модельной функции взята сумма двух синусоид, график которой был изображен на рис. 4.10. Результаты вычислений вейвлет-спектра Добеши представлены в виде трех семейств его коэффициентов на рис. 4.16.

Листинг 4.18. Вычисление вейвлет-спектра Добеши модельного сигнала



Рис. 4.16. Вейвлет-спектр Добеши модельного сигнала (продолжение листинга 4.18)


Программирование других вейвлет-преобразований

Наряду со встроенной функцией wave, профессиональные версии Mathcad 11—12 снабжены пакетом расширения для осуществления вейвлет-анализа. Пакет расширения содержит большое число дополнительных встроенных функций, имеющих отношение к вейвлет-преобразованиям. Обзор пакетов расширения выходит за рамки данной книги, поэтому ограничимся простым упоминанием об этой возможности.

ПРИМЕЧАНИЕ

Дополнительную информацию об использовании данных встроенных функций можно найти в соответствующей .электронной книге, которую можно открыть при помощи меню Help/ E-Books / Wavelet extension pack (Справка/ Электронные книги / Вейвлет-анализ данных).



Помимо встроенной функции вейвлет-спектра Добеши и возможностей пакета расширения, допускается непосредственное программирование алгоритмов пользователя для расчета вейвлет-спектров. Оно сводится к аккуратному численному расчету соответствующих семейств интегралов. Один из примеров такой программы приведен в листинге 4.19. Анализу подвергается функция, составленная из суммы двух синусов, а график двухпараметриче-ского спектра с(а,b) выведен на рис. 4.17 в виде привычных для вейвлет-анализа линий уровня на плоскости (а,b).

ПРИМЕЧАНИЕ

Программа листинга очень проста, но исключительно далека от хорошей в смысле быстродействия. Каждый интеграл вычисляется независимо, без использования методов ускорения, типа применяемых в алгоритме БПФ. Однако простые приемы программирования вполне доступно раскрывают математический смысл вейвлет-преобразования.


Листинг 4.19. Вычисление вейвлет-спектра на основе "мексиканской шляпы"




Рис. 4.17. Вейвлет-спектр модельного сигнала на основе "мексиканской шляпы" (продолжение листинга 4.19)