Математические задачи в пакете MathCAD 12



7.3.6. Число обусловленности квадратной матрицы



Еще одной важной характеристикой матрицы является ее число обусловленности (condition number). Число обусловленности является мерой чувствительности системы линейных уравнений А-Х=Ь, определяемой матрицей А, к погрешностям задания вектора ь правых частей уравнений (см. главу 8). Чем больше число обусловленности, тем сильнее это воздействие и тем более неустойчив процесс нахождения решения линейной системы. Число обусловленности связано с нормой матрицы и вычисляется по-разному для каждой из норм:

  •  cond1 (А) — число обусловленности в норме L1;
  •  cond2 (A) — число обусловленности в норме L2;
  •  conde (A) — число обусловленности в евклидовой норме;
  •  condi (A) — число обусловленности в  -норме:

  • А — квадратная матрица.


Расчет чисел обусловленности для двух матриц А и В показан в листинге 7.19. Обратите внимание, что первая из матриц является хорошо обусловленной, а вторая — плохо обусловленной (два ее последних столбца очень близки между собой, с точностью до множителя 2). Вторая строка листинга дает формальное определение числа обусловленности как произведения норм исходной и обратной матриц. В других нормах определение точно такое же.

ПРИМЕЧАНИЕ

Как нетрудно понять, матрицы А и в из листинга 7.18 (см. предыдущий разд.) обладают одинаковыми числами обусловленности, т. к. в=100-А, и, следовательно, обе матрицы определяют одну и ту же систему уравнений.



Листинг 7.19. Вычисление чисел обусловленности матриц (в различных нормах)