Системы линейных уравнений

Одной из центральных проблем вычислительной линейной алгебры является решение систем линейных уравнений (см. разд. 8.1 и 8.2), отыскание собственных векторов и собственных значений (см. разд. 8.4), а также различные матричные разложения (см. разд. 8.3). Все они будут рассмотрены в данной главе, являющейся, фактически, продолжением предыдущей (которая была посвящена простейшим матричным вычислениям).

ПРИМЕЧАНИЕ

К системам линейных уравнений сводится множество, если не сказать большинство, задач вычислительной математики. Один из таких примеров подробно рассмотрен в разд. 10.4.

Задачу решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), т. е. систем N уравнений вида

a_i1x₁+a_i2x₂+.. .+a_iNx_N=b_i (8.1)

можно записать в эквивалентной матричной форме:

Аx=b, (8.2)

где А — матрица коэффициентов СЛАУ размерности NxN; х — вектор неизвестных; b — вектор правых частей уравнений. Из общего курса линейной алгебры известно, что такая СЛАУ имеет единственное решение, если матрица А является невырожденной или, по-другому, несингулярной, т. е. ее определитель не равен нулю. Самый простой способ решения почти всякой несингулярной системы — использование алгоритма Гаусса, реализованного во встроенной функции isoive (см. разд. 8.1.2).

ПРИМЕЧАНИЕ

На практике, в основном при решении обратных задач (inverse problems), часто приходится сталкиваться не только со СЛАУ с квадратной матрицей А, но и с прямоугольной матрицей размера MxN, т. е. системами, в которых число неизвестных не равно числу уравнений (как больше, так и меньше него). Такие системы требуют специфического подхода, который будет рассмотрен в разд. 8.2 и 8.3.

Содержание

Содержание раздела