Глава 9.1.1. Задачи Коши для ОДУ

Дифференциальные уравнения — это уравнения, в которых неизвестными являются не переменные (т. е. числа), а функции одной или нескольких переменных. Эти уравнения (или системы) включают соотношения между искомыми функциями и их производными. Если в уравнения входят производные только по одной переменной, то они называются обыкновенными дифференциальными. В противном случае говорят об уравнениях в частных производных (см. главу II). Таким образом, решить (иногда говорят проинтегрировать) дифференциальное уравнение — значит, определить неизвестную функцию на определенном интервале изменения ее переменных.

ОДУ с неизвестной функцией у (t), в которое входят производные этой функции вплоть до y^(N) (t), называется ОДУN-го порядка. В частности, уравнение первого порядка может по определению содержать помимо самой искомой функции y(t) только ее первую производную у'(t), второго порядка— у' (t) и у'' (t) и т. д. В подавляющем большинстве практических случаев дифференциальное уравнение можно записать в стандартной форме (форме Коши): у'(t)=f (у (t) ,t). Уравнение второго порядка может содержать, помимо самой функции, ее первую и вторую производные и т. д. Листинг 9.1 демонстрирует решение простого ОДУ второго порядка, описывающего модель затухающего гармонического осциллятора. Само уравнение приведено во второй строке листинга, после задания параметров модели, а вычисленный результат, т. е. искомая функция у (t), показан на рис. 9.1.

ПРИМЕЧАНИЕ

Модель гармонического осциллятора описывает, в частности, колебания маятника: y(t) описывает изменения угла его отклонения от вертикали, у' (t) — угловую скорость маятника, у" (t) — ускорение, а начальные условия, соответственно, начальное отклонение маятника у (0) =1.0 и начальную скорость у' (0)=0. Важно отметить, что модель является линейной, т.е. неизвестная функция (и ее производные) входят в уравнение в первой степени.

Листинг 9.1. Решение задачи Коши для ОДУ второго порядка (модель затухающего гармонического осциллятора)

Как показывает листинг 9.1, помимо самого уравнения потребовалось определить два начальных условия (третья и четвертая строки листинга) — начальные значения y(t) и у' (t) при t=0. Вообще говоря, ОДУ (или система ОДУ) имеет единственное решение, если помимо уравнения определенным образом заданы начальные или граничные условия. В соответствующих курсах высшей математики доказываются теоремы о существовании и единственности решения в зависимости от тех или иных условий.

Рис. 9.1. Решение уравнения w²у"+βу'+у=0 (продолжение листинга 9.1)

Имеются два типа задач, которые возможно решать с помощью Mathcad:

задачи Коши — для которых определены начальные условия на искомые функции, т. е. заданы значения этих функций в начальной точке интервала интегрирования уравнения (именно им и посвящена данная глава);
краевые задачи — для которых заданы определенные соотношения сразу на обеих границах интервала (они рассматриваются в главе 10).

Сказанное относится как к отдельным дифференциальным уравнениям (см. разд. 9.2), так и к системам ОДУ (см. разд. 9.3). Важно подчеркнуть, что Mathcad умеет решать только такие системы дифференциальных уравнений, которые могут быть представлены в стандартной форме (форме Коши). Для неизвестных функций у₀ (t), y₁(t), ..., y_N-1(t) система ОДУ должна быть записана в форме:

что эквивалентно следующему векторному представлению:

Y' (t)=F(Y(t) ,t). (9.2)

Здесь Y и Y' — соответствующие неизвестные векторные функции переменной t размера Nx1, a F — векторная функция того же размера и количества переменных (N+1) (N компонент вектора и, возможно, t). Именно векторное представление (9.2) используется для ввода системы ОДУ в среде Mathcad.

Для того чтобы определить задачу Коши для системы из N ОДУ первого порядка, следует определить еще ровно N начальных условий, задающих значение каждой из функций yi(t0) в начальной точке интегрирования системы t0. В векторной форме они могут быть записаны в виде

Y(t0)=B, (9.3)

где B— вектор начальных условий размера Nx1, составленный из y_i(t0). Обратите внимание на необходимость векторной записи как самого уравнения, так и начального условия. В случае одного ОДУ первого порядка соответствующие векторы имеют только один элемент, а в случае системы N>1 уравнений — N.

Стандартные процедуры Mathcad применимы для систем ОДУ первого порядка, записанных в форме (9.2)—(9.3). Тем не менее, если в систему входят и уравнения высших порядков, то ее можно свести к системе большего числа уравнений первого порядка. Рассмотрим в качестве примера уравнение второго порядка модели осциллятора w²у'+βу'+у=0, решенное в листинге 9.1. Если ввести обозначение y₀(t)=y(t), yi(t)=y' (t), то уравнение сведется к эквивалентной системе:

y0(t)=y₁(t);

w²у₁'+βу'+у=0,

форма которой удовлетворяет форме (9.2) и уравнение может быть решено средствами Mathcad, предназначенными для систем ОДУ. Именно эта система решена ниже в листинге 9.3 (см. разд. 9.3.1). Отметим, что на рис. 9.1 показаны как зависимость у (t), так и у₁(t)=y' (t).

Содержание раздела