Глава 12.1.1. Статистические функции

В Mathcad имеется ряд встроенных функций, задающих используемые в математической статистике законы распределения. Они вычисляют как значение плотности вероятности различных распределений по значению случайной величины х, так и некоторые сопутствующие функции. Все они, по сути, являются либо встроенными аналитическими зависимостями, либо специальными функциями. Большой интерес представляет наличие генераторов случайных чисел, создающих выборку псевдослучайных данных с соответствующим законом распределения, что является основой методов Монте-Карло (см. разд. 12.2).

В Mathcad заложена информация о большом количестве разнообразных статистических распределений, включающая, с одной стороны, табулированные функции вероятности, и, с другой, возможность генерации последовательности случайных чисел с соответствующим законом распределения. Для реализации этих возможностей имеются четыре основных категории встроенных функций. Их названия являются составными и устроены одинаковым образом: первая литера идентифицирует определенный закон распределения, а оставшаяся часть (ниже в списке функций она условно обозначена звездочкой) задает смысловую часть встроенной функции:

d* (x,par) — плотность вероятности;
р*(х,раг) — функция распределения;
q*(P,par) — квантиль распределения;
r* (M,раr) — вектор м независимых случайных чисел, каждое из которых имеет соответствующее распределение:

х — значение случайной величины (аргумент функции);

Р — значение вероятности;

par — список параметров распределения.

Чтобы получить функции, относящиеся, например, к равномерному распределению, вместо * надо поставить unif и ввести соответствующий список параметров par. Он будет состоять в данном случае из двух чисел: а,b — границ интервала распределения случайной величины.

Перечислим все типы распределения, реализованные в Mathcad, вместе с их параметрами, на этот раз обозначив звездочкой * недостающую первую букву встроенных функций. Некоторые из плотностей вероятности показаны на рис. 12.1.

*beta (x, s1, s2) — бета-распределение (s1, s2>0 — параметры, 0<x<1).
*binom(k,n,p) — биномиальное распределение (n — целый параметр, 0<k<n и 0<р<1 — параметр, равный вероятности успеха единичного испытания).

Рис. 12.1. Плотность вероятности некоторых распределений

*cauchy(x,l,s) — распределение Коши (l — параметр разложения, s>0 — параметр масштаба).
*chisq(x,d) — χ² ("хи-квадрат") распределение (d>0 — число степеней свободы).
*ехр(х,r) — экспоненциальное распределение (r>0 — показатель экспоненты).
*F(x,d1,d2) — распределение Фишера (d1,d2>0 — числа степеней свободы).
*gamma(x,s) — гамма-распределение (s>0 — параметр формы).
*geom(k,p) — геометрическое распределение (0<р<1 — параметр, равный вероятности успеха единичного испытания).
*hypergeom(k,a,b,n) — гипергеометрическое распределение (а,b,n — целые параметры).
*lnorm(х,µ, σ) — логарифмически нормальное распределение (µ— натуральный логарифм математического ожидания, σ>0 — натуральный логарифм среднеквадратичного отклонения).
*logis (х,l,s) — логистическое распределение (1 — математическое ожидание, s>0 — параметр масштаба).
*nbinom(k,n,p) — отрицательное биномиальное распределение (n>0 — целый параметр, 0<р<1).
*norm(х,µ, σ) — нормальное распределение (µ— среднее значение, σ>0 — среднеквадратичное отклонение).
*pois (k,λ) — распределение Пуассона (λ>0 — параметр).
*t (x,d) — распределение Стьюдента (d>0 — число степеней свободы).
*unif (х,а,b) — равномерное распределение (а<b — фаницы интервала).
*weibuii (x, s) — распределение Вейбулла (s>0 — параметр).

ПРИМЕЧАНИЕ

Математический смысл каждой из четырех типов функций будет объяснен в следующем разделе на примере распределения Гаусса.

Вставку рассмотренных статистических функций в программы удобно осуществлять с помощью диалогового окна Insert Function (Вставка функции). Для этого необходимо выполнить следующие действия:

1. Установите курсор на место вставки функции в документе.

2. Вызовите диалоговое окно Insert Function нажатием кнопки f(x) на стандартной панели инструментов, или командой меню Insert / Function (Вставка / Функция), или нажатием клавиш <Ctrl>+<E>.

3. В списке Function Category (Категория функции) (рис. 12.2) выберите одну из категорий статистических функций. Категория Probability Density (Плотность вероятности) содержит встроенные функции для плотности вероятности, Probability Distribution (Функция распределения) — для вставки функций или квантилей распределения, Random Numbers (Случайные числа) — для вставки функции генерации случайных чисел.

4. В списке Function Name (Имя функции) выберите функцию в зависимости от требующегося закона распределения. При выборе того или иного элемента списка в текстовых полях в нижней части окна будет появляться информация о назначении выбранной функции.

5. Нажмите кнопку ОК для вставки функции в документ.

Рис. 12.2. Диалоговое окно Insert Function

Содержание раздела