Математические задачи в пакете MathCAD 12



12.2.3. Примеры: Выборочная оценка дисперсии и среднего нормальной случайной величины



Типовые задачи математической статистики связаны с получением тех или иных интервальных и точечных оценок различных параметров случайной выборки. Приведем пример двух задач, иллюстрирующих назначение и принципы применения введенных в предыдущих разделах статистических функций.

Интервальная оценка дисперсии

Требуется определить числовой интервал (L,U), внутри которого будет лежать с вероятностью 1-а=75% дисперсия нормальной случайной величины, исходя из объема выборки в N чисел. Эта задача решается в статистике с помощью χ2-распределения (листинг 12.13).

Листинг 12.13. Интервальное оценивание дисперсии

Указанный интервал называется (1-a) доверительным интервалом. Обратите внимание на использование при решении данной задачи функции stdev (с прописной буквы) для расчета выборочного стандартного отклонения. В статистике часто встречаются выражения, которые более удобно записывать через функции в такой нормировке, именно для этого они и появились в Mathcad.

Проверка статистических гипотез

В статистике рассматривается огромное число задач, связанных с проверкой тех или иных гипотез н. Разберем пример простой гипотезы. Пусть имеется выборка N чисел с нормальным законом распределения и неизвестными дисперсией и математическим ожиданием. Требуется принять или отвергнуть гипотезу H о том, что математическое ожидание закона распределения равно некоторому числу µ0=0. 2.

Задачи проверки гипотез требуют задания уровня критерия проверки гипотезы а, который описывает вероятность ошибочного отклонения истинной н. Если взять ее очень малым, то гипотеза, даже если она ложная, будет почти всегда приниматься; если, напротив, взять а близкими 1, то критерий будет очень строгим, и гипотеза, даже верная, скорее всего, будет отклонена.

В нашем случае гипотеза состоит в том, что µ0=0.2, а альтернатива— что µ0#0.2. Оценка математического ожидания, как следует из курса классической статистики, решается с помощью распределения Стьюдента с параметром N-1 (этот параметр называется степенью свободы распределения).

Для проверки гипотезы (листинг 12.14) рассчитывается (а/2)-квантиль распределения Стьюдента т, который служит критическим значением для принятия или отклонения гипотезы. Если соответствующее выборочное значение T по модулю меньше т, то гипотеза принимается (считается верной). В противном случае гипотезу следует отвергнуть.

Листинг 12.14. Проверка гипотезы о математическом ожидании при неизвестной дисперсии

В последней строке листинга вычисляется истинность или ложность условия, выражающего решение задачи. Поскольку условие оказалось ложным (равным не 1, а 0), то гипотезу необходимо отвергнуть.

На рис. 12.8 показано распределение Стьюдента с N-l степенью свободы, вместе с критическими значениями, определяющими соответствующий интервал. Если t (оно тоже показано на графике) попадает в него, то гипотеза принимается; если не попадает (как произошло в данном случае) — отвергается. Если увеличить а, ужесточив критерий, то границы интервала будут сужаться по сравнению с показанными на рисунке.



Рис. 12.8. К задаче проверки статистических гипотез (продолжение листинга 12.14)


В листинге 12.15 приводится альтернативный способ проверки той же самой гипотезы, связанный с вычислением значения не квантиля, а самого распределения Стьюдента.

Листинг 12.15. Другой вариант проверки гипотезы (продолжение листинга 12.14)

Мы разобрали только два характерных примера статистических вычислений. Однако с помощью Mathcad легко решаются самые разнообразные задачи математической статистики.

ПРИМЕЧАНИЕ

Большое количество задач разобрано в Ресурсах в рубрике Statistics (Статистика) Быстрых шпаргалок.