Математические задачи в пакете MathCAD 12



13.2.1. Линейная регрессия



Самый простой и наиболее часто используемый вид регрессии — линейная. Приближение данных (xi,yi) осуществляется линейной функцией у(х) = =b+ах. На координатной плоскости (х,у) линейная функция, как известно, представляется прямой линией (рис. 13.14). Еще линейную регрессию часто называют методом наименьших квадратов, поскольку коэффициенты а и b вычисляются из условия минимизации суммы квадратов ошибок |b+axi-yi|.

ПРИМЕЧАНИЕ 1

Чаще всего такое же условие ставится и в других задачах регрессии, т. е. приближения массива данных (xi,yi) другими зависимостями у(х). Исключение рассмотрено в листинге 13.9.



ПРИМЕЧАНИЕ 2

Различным расчетным аспектам реализации метода наименьших квадратов, в большинстве случаев сводящимся к решению систем алгебраических линейных уравнений, была посвящена значительная часть главы 8.



Для расчета линейной регрессии в Mathcad имеются два дублирующих друг друга способа. Правила их применения представлены в листингах 13.7 и 13.8. Результат обоих листингов получается одинаковым (рис. 13.14):

  •  line (х, у) — вектор из двух элементов (b,а) коэффициентов линейной регрессии b+ах;
  •  intercept (х, у) — коэффициент ь линейной регрессии;
  •  slope (x,y) — коэффициент а линейной регрессии:

  •  х — вектор действительных данных аргумента;
  •  у — вектор действительных данных значений того же размера.

Листинг 13.7. Линейная регрессия


Листинг 13.8. Другая форма записи линейной регрессии

 



Рис. 13.14. Линейная регрессия (продолжение листинга 13.7 или 13.8)

В Mathcad имеется альтернативный алгоритм, реализующий не минимизацию суммы квадратов ошибок, а медиан-медианную линейную регрессию для расчета коэффициентов а и b (листинг 13.9):

  •  medfit(x,y) — вектор из двух элементов (b,а) коэффициентов линейной медиан-медианной регрессии b-ах:

  • х, у — векторы действительных данных одинакового размера.

Листинг 13.9. Построение линейной регрессии двумя разными методами (продолжение листинга 13.7)


Различие результатов среднеквадратичной и медиан-медианной регрессии иллюстрируется на рис. 13.15.



Рис. 13.15. Линейная регрессия по методу наименьших квадратов и методу медиан (продолжение листингов 13.7 и 13.9)