Глава 14.1.5. Пример: спектр модели сигнал/шум

Пока мы использовали в качестве примера детерминированный сигнал, представляющий собой сумму трех синусоид. Несмотря на единство термина "дискретное преобразование Фурье", прикладное применение спектрального анализа можно довольно четко разделить на две категории.

Сигнал, подвергающийся спектральному анализу, получен в условиях пренебрежимо малой погрешности, т. е. его можно, фактически, считать детерминированным. Такая ситуация характерна для экспериментальной оптики и (разного рода) спектроскопии. В этом случае для большинства задач анализа сигналов бывает вполне достаточно использовать простые спектры Фурье, рассмотренные выше (см. разд. 14.1.1—14.1.3).
Сигнал, полученный в присутствии значительной шумовой компоненты, которая существенно искажает его структуру. В этом случае следует говорить о смеси (к счастью, чаще всего аддитивной) "полезный сигнал + шум", причем в большинстве случаев заранее известна некоторая информация о статистике шумовой компоненты. Данная ситуация очень часто встречается в экспериментальной геофизике и радиофизике. В этом случае подходить к интерпретации спектров следует с вероятностной точки зрения. Как раз этому вопросу мы и посвятим данный пример.

Фурье-спектр

Внесем минимальное добавление в расчеты листинга 14.1, а именно добавим к его четвертой строке (в которой определяется y_i) еще одно (четвертое) слагаемое: псевдослучайную величину σrnd(1), где значение 1/σ характеризует отношение сигнал/шум. Явный вид изменений, которые следует внести в листинг 14.1, приведен на рис. 14.10, наряду с графиком сигнала у(х). Расчет Фурье-спектра данного сигнала (в соответствии с алгоритмом, представленным выше, см. листинг 14.1) показан на рис. 14.11. Как видно, присутствие шумовой компоненты может значительно искажать спектр сигнала и затруднять его интерпретацию.

ПРИМЕЧАНИЕ

Максимальное значение спектра на левом крае частотного интервала является ни чем иным, как проявлением искажающего влияния конечности выборки и сдвига ноль-линии (см. разд. 14.1.3), произошедшим из-за внесения шума с математическим ожиданием, равным 0.5.

Рис. 14.10. Модель сигнал / шум

Рис. 14.11. График Фурье-спектра данных

Спектр мощности

В силу стохастичности исходных данных, представляющих сумму полезного сигнала и шума, сами вычисленные значения спектра Фурье носят также случайный характер. В этой связи необходимо знать, с какой погрешностью они рассчитываются. Однако из курса математической статистики известно, что для обычного Фурье-преобразования случайного сигнала (в частности, нормального) не найдено оценок для погрешности. Это слабое место Фурье-спектров делает их практически неприменимыми для анализа случайных сигналов, а вместо них надо применять так называемые спектры мощности (или, по-другому, энергетические спектры), для которых указанные оценки существуют.

Не углубляясь в теорию математической статистики, приведем пример вычисления спектра мощности сигнала (рис. 14.10), основанный его определении. Как известно, спектром мощности сигнала называют Фурье-преобразование его корреляционной функции. Таким образом, алгоритм расчета спектра мощности сводится к следующему: во-первых, вычислению автокорреляционной функции (рис. 14.12); во-вторых, ее прореживанию и (или) сглаживанию (в целях уменьшения влияния конечности выборки); и, наконец, в-третьих, расчету ее Фурье-преобразования. Результат вычисления спектра мощности (листинг 14.3) в соответствии с приведенным сценарием показан на рис. 14.13.

ПРИМЕЧАНИЕ 1

Аналогичным образом, через Фурье-преобразование взаимной корреляционной функции, определяются взаимные спектры мощности двух выборок.

ПРИМЕЧАНИЕ 2

Еще один способ вычисления спектров мощности, не требующий расчета функции корреляции, приведен ниже (см. разд. 14.3.6).

ПРИМЕЧАНИЕ 3

Методика расчета в Mathcad корреляционной функции случайного процесса обсуждалась в главе 12 (см. разд. 12.3.3).

Листинг 14.3. Расчет спектра мощности для модели сигнал/шум

Рис. 14.12. Автокорреляционная функция модельной зависимости сигнал / шум (продолжение листинга 14.3)

Рис. 14.13. График спектра мощности данных модельной зависимости сигнал / шум (продолжение листинга 14.3)

Содержание раздела